다익스트라 알고리즘

다익스트라 최단 경로 알고리즘

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다.
  • 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않는다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.
  • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.

A→ B , B→ C 를 찾고 A→C 를 찾는

길찾기는 다이나믹 프로그래밍의 원리

그러나 다익스트라 알고리즘은 길찾기 문제 중에서도 탐욕적인 원리를 이용한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 분류된다.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘의 과정

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.

현재를 기준으로 하여 최단거리가 가정 짧은 노드를 선택하는 과정을 반복할 때마다

특정 노드까지의 최단 거리를 확실히 결정하는 것과 같다.

이러한 특징 때문에 매 상황마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 것을 반복하므로써 모든 노드에 대해서 방문 처리가 끝났을 때

전체 노드까지의 모든 최단거리를 알 수 있다.

이러한 과정을 반복하게 되면

각 노드까지의 최단거리만 알 수 있게 되는데

최단 경로까지 알기 위해서는 별도의 로직이 필요하다.

그러므로

출발 노드로 부터 다른 모든 노드 까지의 최단거리 테이블을 구하는 것을 목표로 한다.

 

 

다익스트라 알고리즘의 특징

• 그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복합니다.
• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않습니다.
  • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.
• 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됩니다.
  • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 합니다.

 

다익스트라 알고리즘 : 간단한 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)합니다.

다익스트라 알고리즘 : 간단한 구현 방법 성능 분석

• 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다.
• 따라서 전체 시간 복잡도는 O(V^2)이다.
• 일반적으로 코딩테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5000개 이하라면 이코드로 문제를 해결할 수 있지만
  • 노드의 개수가 10000개를 넘어가는 문제라면 매우 비효율적이다.

 

우선순위 큐(Priority Queue)

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다.

힙(Heap)

• 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다.
• 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다.

 

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용한다. ( 거리가 짧은 순서부터 각 노드에대한 정보가 나올 수 있도록 한다.)
• 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다.
  • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.
  • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다

 

우선순위 큐를 이용한 다익스트라 알고리즘

 

 

 

 

 

 

 

 

 

꺼낸 원소의 거리가 현재 테이블에 기록되어 있는 거리보다 크다면

방문 처리돼 있는 노드라고 간주 할 수 있으므로 무시하면 된다.

 

 

 

우선순위 큐를 이용한 다익스트라 알고리즘 - 파이썬 코드

import sys
import heapq
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for _ in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))


def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 거리는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))  # 시작노드 정보 우선순위 큐에 삽입
    distance[start] = 0  # 시작노드->시작노드 거리 기록

    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for next in graph[now]:
            # cost = 현재 확인하고 있는 노드의 거리 값 + 그 노드와 인접한 다른 노드의 거리값
            cost = dist + next[1]   # dist는 저장 되어있는 최단경로, next[1]은 다른 노드로 가는 거리 값
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[next[0]]:
                distance[next[0]] = cost    # 작은 비용으로 거리를 갱신한다
                heapq.heappush(q, (cost, next[0]))  # 값이 갱신되면 우선순위큐에 넣는다

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 도달할 수 없다고라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print('도달할 수 없음')
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

 

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법 성능 분석

• 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 **O(ElogV)**이다.
• 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while)문은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않는다.
  • 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
• 직관적으로 전체과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
  • 시간 복잡도를 O(ElogE)로 판단할 수 있다.
  • 중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있다.
    • O(ElogE) → O(ElogV^2) → O(2ElogV) → O(ElogV)

 

 

출처 : https://www.youtube.com/watch?v=F-tkqjUiik0